近日，我校理学院微分方程动力系统及其数值模拟团队与山东大学司建国教授团队合作，在哈密顿系统的KAM理论研究方面取得重要进展，相关成果《二维环面上五次薛定谔方程的拟周期解的构造》发表于国际权威数学期刊Transactions of the American Mathematical Society。我校教师张敏为第一作者，中国石油大学（华东）为第一署名单位。该研究得到国家自然科学基金和中央高校基本科研业务费专项资金联合资助。
在天体力学、量子力学、神经网络、航天科技以及生物工程中很多模型都以哈密顿方程或者其摄动方程的形式出现，因此哈密顿方程一直是数学家和理论物理学家关心的热点；KAM理论是关于可积哈密顿系统受摄动后其解的长期性态的理论，是牛顿力学在20世纪的重大进展，是哈密顿系统理论发展的里程碑，具有划时代意义。KAM理论在常微分方程以及一维偏微分方程的发展较完善，已存在大量成果。但当偏微分方程中的空间变量处于高维空间时，由于法向频率重数趋于无穷，使得求解同调方程以及测度估计变得更加困难，因此成果较少；且已有结论大多是关于具有外参数的方程，所以不适用于具有物理背景的经典方程。2011年，相关学者通过选取特殊切向频率的思想，利用KAM理论研究了具有物理背景的完全共振的二维三次薛定谔方程的拟周期解的存在性。然而，该思想一直未能被推广至具有更高阶非线性项的二维共振方程。
张敏及其合作者成功将此思想用于二维五次薛定谔方程，并定义了一类名为容许集的特殊切向频率集合，填补了这一研究领域的空白。该集合中的四类共振，给出含有六类依赖角变量项的特殊的伯克霍夫正规型，进而通过幅频调制提取参数，然后通过融合Töplitz-Lipschitz思想以及求解依赖角变量的同调方程思想，克服了KAM迭代过程中出现的小除数问题以及由其引出的坏参数集合的测度估计问题，最终在不引入外参数的情况下，针对特殊切向频率集合，讨论了完全共振的二维五次薛定谔方程的拟周期解的存在性且给出了拟周期解的稳定性和零Lyapunov指数等动力学性质。该成果中关于容许集非空、非退化性条件等的证明具有较强的规律性，为进一步将该种思想推广至具有一般非线性项的方程提供可能。
审稿人对该成果给予高度评价，认为其关于容许集非空的证明以及由其确定的伯克霍夫正规型的特殊形式是非常有意义的研究成果。
Transactions of the American Mathematical Society创刊于1900年，是由美国数学学会主办的综合性数学刊物，年收录论文200余篇。该期刊致力于发表纯数学和应用数学各分支具有突破性的重要成果，是业内公认的数学类权威期刊，具有很高的学术声誉。
微分方程动力系统及其数值模拟团队长期致力于哈密顿系统的KAM理论、生态学中的偏微分方程动力学系统、吸引子及惯性流形等相关领域的研究。近年来承担国家自然科学基金项目及省部级项目10余项，在Transactions of the American Mathematical Society、Nonlinear Analysis: Real World Applications、Nonlinear Analysis: Theory, Method & Applications、Nonlinear Analysis: Modelling and Control等国际知名期刊发表高水平论文40余篇，在微分方程动力系统领域形成了一定的影响力。
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https://www.ams.org/journals/tran/2021-374-07/S0002-9947-2021-08329-4/